题目内容

4．已知F1为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{14}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的左焦点，直线l过原点且与双曲线C相交于P，Q两点，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{Q{F}_{1}}$=0，则△PF1Q的周长等于（　　）
A．2$\sqrt{11}$+10B．2$\sqrt{14}$+10C．22D．24

分析 确定以PQ为直径的圆经过F1，可得|PQ|=2c=10，设F2为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{14}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的右焦点，则根据双曲线的对称性，可得|PF1|=|QF2|，利用双曲线的定义，结合勾股定理，即可得出结论．

解答 解：由题意，直线l过原点且与双曲线C相交于P，Q两点，$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{Q{F}_{1}}$=0，
∴PF1⊥QF1，
∴以PQ为直径的圆经过F1，
∴|PQ|=2c=10，
设F2为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{14}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的右焦点，则根据双曲线的对称性，可得|PF1|=|QF2|，
∴|QF1|-|PF1|=2$\sqrt{14}$，
∵|QF1|2+|PF1|2=100，
∴2|QF1||PF1|=44，
∴（|QF1|+|PF1|）2=144，
∴|QF1|+|PF1|=12，
∴△PF1Q的周长等于22，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用双曲线的定义是关键．

练习册系列答案
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