Question

5．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1，记f（x）的导数为f′（x）．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-3，且x=2时y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-3，且x=2时，y=f（x）有极值，建立两个方程，即可求函数f（x）的解析式；
（2）确定函数的极值点，利用函数的最值在极值点处及端点处取得，即可得到结论．

解答 解：f′（x）=3x²+2ax+b，
（1）由题意，得f′（1）=3+2a+b=-3，f′（2）=12+4a+b=0，
解得a=-3，b=0，∴f（x）=x³-3x²+1；           
（2）由（1）知，f′（x）=3x²-6x=0，解得x=0或x=2．
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）是增函数，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是减函数，
f（0）=1，f（1）=-1，f（-1）=-3，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值为1，最小值为-3．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．