Question

【题目】已知f （ x）= x2 ， g （ x）=a ln x（a＞0）．
（Ⅰ）求函数 F （ x）=f（x）g（x）的极值
（Ⅱ）若函数 G（ x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）在区间 （ ，e） 内有两个零点，求的取值范围；
（Ⅲ）函数 h（ x）=g （ x ）﹣x+ ，设 x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若 h（ x 2）﹣h（ x 1）存在最大值，记为 M （a），则当 a≤e+1 时，M （a） 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， ∴ ，
由F′（x）＞0得 ，
由F′（x）＜0，得
∴F（x）在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，F（x）无极大值．
（Ⅱ）
∴
又 ，易得G（x）在 上单调递减，在[1，e）上单调递增，
要使函数G（x）在 内有两个零点，
需 ，即 ，
∴ ，
∴ ，即a的取值范围是 ．
（Ⅲ）若0＜a≤2，∵ 在（0，+∞）上满足h′（x）≤0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x2）﹣h（x1）＜0．
∴h（x2）﹣h（x1）不存在最大值，则a＞2，
∴方程x2﹣ax+1=0有两个不相等的正实数根，
令其为m，n，且不妨设0＜m＜1＜n，则 ，
h（x）在（0，m）上单调递减，在（m，n）上调递增，在（n，+∞）上单调递减，
对x1∈（0，1），有h（x1）≥h（m）；对x2∈（1，+∞），有h（x2）≤h（n），
∴[h（x2）﹣h（x1）]max=h（n）﹣h（m）．
∴ = ．
将 ， 代入上式，消去a，m，
得： ，
∵ ，∴ ，n＞1．
据 在x∈（1，+∞）上单调递增，得n∈（1，e]，
设 ，x∈（1，e]，
，x∈（1，e]，
∴φ′（x）＞0，即φ（x）在（1，e]上单调递增，
∴ ，
∴M（a）存在最大值为
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可；（Ⅲ）求出函数的导数，得到方程x2﹣ax+1=0有两个不相等的正实数根，令其为m，n，根据函数的单调性判断即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．