Question

已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.
(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．

Answer 1

（1）(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)；（2）(－∞，5).

试题分析：(1)本题是一个含参不等式的求解，需要按a＝1，a>1，a<1进行讨论；（2）f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，分离参数为|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．
所以对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5.
试题解析：(1)不等式f(x)＋a－1>0，
即|x－2|＋a－1>0，
当a＝1时，解集为x≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；
当a>1时，解集为全体实数R；
当a<1时，∵|x－2|>1－a，∴x－2>1－a或x－2<a－1，∴x>3－a或x<a＋1，
故解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．
(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．
又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5，
即m的取值范围是(－∞，5)．