题目内容
【题目】已知函数
（
为常数， 
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线方程是
.
（1）求
的值；（2）求
的单调区间；
（3）设
（其中
为
的导函数）。证明：对任意
， 
【答案】（1）
;（2）
单调递增区间是
，单调递减区间是
;（3）见解析.
【解析】【试题分析】（1）依据题设导数的几何意义建立方程分析求解；（2）依据导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（3）先将不等式进行等价转化，再借助导数分析推证：
（1）由
得
.由已知得
，解得
.又
，即
， 
.
（2）由（1）得
，令
，
当
时， 
；当
时， 
，又
当
时， 
；
当
时， 
， 
的单调递增区间是
， 
的单调递减区间是
（3）由已知有
，于是对任意
等价于
，由（2）知
， 
，易得，当
时， 
，即
单调递增；当
时， 
，即
单调递减. 
的最大值为
，故
.设
则
，因此，当
， 
单调递增， 
，故当
时， 
，即
.
.
对任意
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【题目】在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：
编号 成绩 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
物理（ | 90 | 85 | 74 | 68 | 63 |
数学（ | 130 | 125 | 110 | 95 | 90 |
（1）求数学成绩
关于物理成绩
的线性回归方程
（
精确到
），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；
（2）要从抽取的五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以
表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量
的分布列及数学期望.
（参数公式： 
， 
.）
参考数据： 
，
