题目内容

【题目】已知椭圆的左焦点为,右顶点为,上顶点为,过三点的圆的圆心坐标为

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若直线为常数, )与椭圆交于不同的两点

(ⅰ)当直线,且时,求直线的方程;

(ⅱ)当坐标原点到直线的距离为,且面积为时,求直线的倾斜角.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)直线的方程为、直线的倾斜角为.

【解析】试题分析:(Ⅰ)根据圆心在弦中垂线上,分别列出的垂直平分线方程及的垂直平分线方程,求两直线交点得圆心坐标,再根据 ,可求出(Ⅱ)(ⅰ)设 ,则由可得,利用直线方程与椭圆方程联立,结合韦达定理可得 ,消去参数可得一个等量关系,而由直线,解方程组可得值,即得直线方程,(ⅱ)原点到直线的距离即为的高,所以由面积可得,利用点到直线距离公式及弦长公式可得关于两个等量关系,解方程组可得值,即得直线的倾斜角.

试题解析:(Ⅰ) 的中点为 的斜率为

的垂直平分线方程为

∵圆过点三点,∴圆心的垂直平分线上.

,解得(舍)

椭圆的方程为:

(Ⅱ)设

可得:

……③

(ⅰ) 直线 ……④

从而……⑤

由③④⑤可得: ,或

直线的方程为

(ⅱ)坐标原点到直线的距离为

……⑥

结合③:

……⑦

由⑥⑦得:

面积为

可得:

设直线的倾斜角为,则

由于,所以

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