题目内容

(1991•云南)设函数f(x)=x2+x+
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的定义域是{n,n+1}(n是自然数),那么在f(x)的值域中共有
2n+2
2n+2
个整数.
分析:f(x)的对称轴是x=-
1
2
,当n≥1时,f(x)在[n,n+1]上是单调递增的,因为f(n)和f(n+1)都不是整数,故f(x)的值域中的整数个数问题只要计算f(n+1)-f(n)即可;n=0时,值域为[f(0),f(1)].
解答:解:当n≥1时,f(x)在[n,n+1]上是单调递增的,
f(n+1)-f(n)=(n+1)2+(n+1)+
1
2
-n2-n-
1
2
=2n+2,故f(x)的值域中的整数个数是2n+2,
n=0时,值域为[f(0),f(1)]=[
1
2
5
2
],有1,2两个整数.
故答案为:2n+2
点评:本题考查二次函数的值域问题,对问题的化归转化能力.
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