Question

如图：在多面体中，，,
，。

（1）求证：;
(2)求证：；
（3）求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）见解析(2) 见解析（3）

本试题主要是考查了线面垂直和线面平行的判定定理的运用，以及二面角大小的求解的综合运用。
(1)yw由于所以，
则又，则是解题的关键
(2) 取的中点，连结
由条件知，，
∴四边形和为平行四边形，
∴，，∴，
∴四边形为平行四边形，∴
然后得到结论。
(2)建立空间直角坐标系，然求解平面的法向量的坐标，结合向量的数量积的性质得到夹角的值。
证明：（Ⅰ）由于所以，
则又，则，
所以又，则
（Ⅱ）取的中点，连结
由条件知，，
∴四边形和为平行四边形，
∴，，∴，
∴四边形为平行四边形，∴
∴平面平面，则平面。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知两两垂直，如图建系，

设，则，，
，

设平面的法向量为，则由，得，取，则故，
而平面的法向量为，则
所以二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为