题目内容
如图：在多面体
中，
，
,
，
。
（1）求证：
;
(2)求证：
；
（3）求二面角
的余弦值。
中，，,，。（1）求证：
;(2)求证：
；（3）求二面角
的余弦值。（1）见解析(2) 见解析（3）
本试题主要是考查了线面垂直和线面平行的判定定理的运用，以及二面角大小的求解的综合运用。
(1)yw由于
所以
，
则
又
，则
是解题的关键
(2) 取
的中点
，连结
由条件知
，
，
∴四边形
和
为平行四边形，
∴
，
，∴
，
∴四边形
为平行四边形，∴
然后得到结论。
(2)建立空间直角坐标系，然求解平面的法向量的坐标，结合向量的数量积的性质得到夹角的值。
证明：（Ⅰ）由于所以，
则又，则，
所以
又
，则
（Ⅱ）取的中点，连结
由条件知，，
∴四边形和为平行四边形，
∴，，∴，
∴四边形为平行四边形，∴
∴平面
平面
，则
平面。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
两两垂直，如图建系，
设
，则
，
，
，
设平面的法向量为
，则由
，得
，取
，则
故
，
而平面
的法向量为
，则
所以二面角
为钝二面角，故二面角的余弦值为
(1)yw由于
所以，则
又，则是解题的关键(2) 取
的中点，连结由条件知
，，∴四边形
和为平行四边形，∴
，，∴，∴四边形
为平行四边形，∴然后得到结论。
(2)建立空间直角坐标系，然求解平面的法向量的坐标，结合向量的数量积的性质得到夹角的值。
证明：（Ⅰ）由于
所以，则
又，则，所以
又，则（Ⅱ）取
的中点，连结由条件知
，，∴四边形
和为平行四边形，∴
，，∴，∴四边形
为平行四边形，∴∴平面
平面，则平面。（Ⅲ）由（Ⅰ）知
两两垂直，如图建系，设
，则，，，设平面
的法向量为，则由，得，取，则故，而平面
的法向量为，则所以二面角
为钝二面角，故二面角的余弦值为
练习册系列答案
相关题目
中，
，
是
和
的中点.（Ⅰ）求证：
平面
;
,求
中，
，
为△ABC所在平面外一点，PA⊥面ABC，则四面体P-ABC中共有直角三角形个数为
内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①
；②
；③点A到平面PBC距离就是△PAC的PC边上的高．④二面角P-BC-A大小不可能为450，其中真命题的个数为 （ ）
与平面
，有以下四个命题：
且
，则
；
且
，则
；
且
且
C．1 D．
，平面
，且
，
，给出下列四个命题：
∥
，则
；②若
，则
∥
；④若
是不同的直线,
是不同的平面,若①
②
③
④
,则其中能使
的充分条件的个数为( )
，
，那么必有（ ）