Question

14．已知a+b=4（a＞0，b＞0）则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{9}{2}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． 2

Answer 1

分析 恒等变形得出$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=4（$\frac{1}{4a}$$+\frac{1}{b}$）=（a+b）（$\frac{1}{4a}$$+\frac{1}{b}$）=$\frac{5}{4}$$+\frac{b}{4a}$$+\frac{a}{b}$，运用不等式求解即可．

解答 解：∵a+b=4（a＞0，b＞0）
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=4（$\frac{1}{4a}$$+\frac{1}{b}$）=（a+b）（$\frac{1}{4a}$$+\frac{1}{b}$）=$\frac{5}{4}$$+\frac{b}{4a}$$+\frac{a}{b}$，
∵$\frac{b}{4a}$$+\frac{a}{b}$$≥2\sqrt{\frac{1}{4}}$=1，（b=2a时等号成立），
∴$\frac{5}{4}$$+\frac{b}{4a}$$+\frac{a}{b}$$≥\frac{5}{4}$+1=$\frac{9}{4}$，
故选：C．

点评 本题考察了学生熟练运用基本不等式求解多元式子的最值问题，属于容易题，难度不大．