Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率k_ON；
（2）设M椭圆C上任意一点，且

OM

=λ

OA

+μ

OB

，求λ+μ的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的焦距为2c，因为

c

a

=

6

3

，所以有

a2-b2

a2

=

2

3

，故有a²=3b²．椭圆C的方程可化为：x²+3y²=3b²，右焦点F的坐标为（

2

b，0），据题意有AB所在的直线方程为：y=x-

2

b再结合韦达定理能够求出斜率k_ON．
（2）

OA

与

OB

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量

OM

，有且只有一对实数λ，μ，使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．由此入手能够求出λ+μ的最大值和最小值．

解答：解：（1）设椭圆的焦距为2c，因为

c

a

=

6

3

，所以有

a2-b2

a2

=

2

3

，故有a²=3b²．
从而椭圆C的方程可化为：x²+3y²=3b²①
易知右焦点F的坐标为（

2

b，0），
据题意有AB所在的直线方程为：y=x-

2

b②
由①，②有：4x2-6

2

bx+3b2=0③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x₀，y₀），由③及韦达定理有：x0=

x1+x2

2

=

3 2 b

4

，y0=x0-

2

b=-

2

4

b．
所以KON=

y0

x0

=-

1

3

，即为所求．
（2）显然

OA

与

OB

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量

OM

，有且只有一对实数λ，μ，使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．设M（x，y），由1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），所以x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又点在椭圆C上，所以有（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²整理为λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：x1+x2=

3 2 b

2

，x1•x2=

3b2

4

．所以

x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1- 2 b)(x2- 2 b)=4x1x2-3 2 b(x1+x2)+6b2 =3b2-9b2+6b2=0

⑤
又A﹑B在椭圆上，故有（x₁²+3y₁²）=3b²，（x₂²+3y₂²）=3b²⑥
将⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1.(

λ+μ

2

)2≤

λ2+μ2

2

=

1

2

，故有-

2

2

≤λ+μ≤

2

2

所以(λ+μ)max=

2

2

，(λ+μ)min=-

2

2

点评：本题考查直线 和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．