Question

14．若正项数列{a_n}是以q为公比的等比数列，已知该数列的每一项a_k的值都大于从a_k+2开始的各项和，则公比q的取值范围是（0，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）．

Answer 1

分析 根据题意，得公比1＞q＞0；列出不等式a_k＞$\frac{{a}_{k+2}}{1-q}$，求出公比q的取值范围．

解答 解：正项等比数列{a_n}中，公比为q，∴q＞0；
又数列的每一项a_k的值都大于从a_k+2开始的各项和，
∴a_k＞a_k+2•$\frac{1}{1-q}$，（q＜1）；
即a_k＞$\frac{{a}_{k}{•q}^{2}}{1-q}$，
∴1＞$\frac{{q}^{2}}{1-q}$，
∴q²+q-1＜0；
解得$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
∴公比q的取值范围是（0，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）．
故答案为：（0，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n和的应用问题，是基础题目．