题目内容
【题目】【2018河南南阳市一中上学期第三次月考】已知点为坐标原点,
是椭圆
上的两个动点,满足直线
与直线
关于直线
对称.
(I)证明直线的斜率为定值,并求出这个定值;
(II)求的面积最大时直线
的方程.
【答案】(I)直线的斜率为定值,其值为
;(II)
,或
.
【解析】试题分析:(1)联立直线和椭圆,解出两个的交点坐标,用两点坐标解出直线斜率;(2)联立直线和椭圆根据弦长公式得到
.
再根据点到直线的距离得到,此时面积为
,进而得到结果。
解析:
(1)设直线方程为:
,代入
得
设,因为点
在椭圆上,所以
又由题知,直线的斜率与
的斜率互为相反数,在上式中以
代
,可得
,
所以直线的斜率
即直线的斜率为定值,其值为
.
(2)由(1)可设直线方程为:
,代入
得
,则
.由
可得
.
,
到直线
的距离
,
可得,
当且仅当(满足
),即
时取等,此时直线
的方程为:
,或
.
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