若一个直角三角形的周长为2.则它的面积的最大值等于$3-2\sqrt{2}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．若一个直角三角形的周长为2，则它的面积的最大值等于$3-2\sqrt{2}$．

分析设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L=a+b+c，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，两次运用均值不等式即可求解．

解答解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，周长L=2，
由于a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=L≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$（当且仅当a=b时取等号），
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$（$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$）²
=$\frac{1}{2}$•[$\frac{（2-\sqrt{2}）L}{2}$]²=$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$L²=3-2$\sqrt{2}$．
故答案为：$3-2\sqrt{2}$．

点评利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．

练习册系列答案

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（3）设函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{′}（x），f（x）≥{f}^{′}（x）}\\{f（x），f（x）＜{f}^{′}（x）}\end{array}\right.$，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．

19．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2-x）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断：
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（3）f（x）在[1，2]上是减函数；
（4）f（x）在[-2，-1]上是减函数．
其中正确的判断是（1）（2）（3）（填序号）

20．已知f（x）=e^x-x，命题p：?x∈R，f（x）＞（0），则（　　）

	A．	p是真命题，￢p：?x₀∈R，f（x₀）＜0		B．	p是真命题，￢p：?x₀∈R，f（x₀）≤0
	C．	p是假命题，￢p：?x₀∈R，f（x₀）＜0		D．	p是假命题，￢p：?x₀∈R，f（x₀）≤0

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