Question

7．如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为 PD、BC的中点，面PAB∩面PCD=l．
（1）证明：l∥AB；
（2）（文）证明：EF∥平面PAB．
（3）（理）在线段PD上是否存在一点G，使FG∥面ABE？若存在，求出$\frac{PG}{GD}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明AB∥面PCD，然后证明l∥AB．
（2）（文）取PA中点M，连接BM，EM，证明四边形BFEM为平行四边形，然后利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥面PAB．
（3）（理）取AD中点N，证明FN∥面ABE，证明面FNG∥面ABE，说明G为ED中点，通过线段关系求出$\frac{PG}{GD}=3$．

解答 （1）证明：∵ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，又AB?面PCD，
∴AB∥面PCD，∵面PAB∩面PCD=l，∴l∥AB．（6分）
（文）（2）取PC中点M，连接BM，EM，则$EM\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$，又∵$BF\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$，
∴$EM\underline{\underline{∥}}BF$，∴四边形BFEM为平行四边形，∴EF∥BM，
∵EF?面PAB，BM⊆面PAB，∴EF∥面PAB．（12分）
（理）（3）取AD中点N，则FN∥AB，∴FN∥面ABE，
∵FG∥面ABE，∴面FNG∥面ABE，
∴AE∥NG，又∵N为ED中点，∴G为ED中点，
∴EG=GD，又PE=ED，∴$\frac{PG}{GD}=3$． （12分）

点评 本题考查直线与平面平行，点线面距离的计算，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．