题目内容

已知数列{an}(n∈N*),其前n项和为Sn,给出下列四个命题:
①若{an}是等差数列,则三点(10,
S10
10
)
(100,
S100
100
)
(110,
S110
110
)
共线;
②若{an}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,则S1、S2、…、Sn这n个数中必然存在一个最大者;
③若{an}是等比数列,则Sm、S2m-Sm、S3m-S2m(m∈N*)也是等比数列;
④若Sn+1=a1+qSn(其中常数a1q≠0),则{an}是等比数列.
其中正确命题的序号是
①④
①④
.(将你认为的正确命题的序号都填上)
分析:①利用第1和2点的坐标表示出确定直线的斜率,利用等差数列的前n项和的公式化简得到直线的斜率;然后再利用第3和2点的坐标表示出确定直线的斜率,利用等差数列的前n项和的公式化简得到直线的斜率,判断求得的斜率相等与否,即可得到三点共线与否;
②若{an}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,求出数列的公差,即可判断S1、S2、…、Sn这n个数中是否存在一个最大者;
③若{an}是等比数列,利用等比数列前n项和公式,求出Sm、S2m-Sm、S3m-S2m(m∈N*)即可判断是否是等比数列;
④若Sn+1=a1+qSn(其中常数a1q≠0),转化为数列的前n项和公式,即可判断{an}是不是等比数列.
解答:解:①因为
S10
10
=
10a1+
10×9
2
d
10
=a1+
9
2
d,同理
S100
100
=a1+
99
2
d,
S110
110
=a1+
109
2
d,
S100
100
-
S10
10
100-10
=
(a1+
99
2
d)-(a1+
9
2
d)  
90
=
d
2
=
S110
110
-
S100
100
110-100
=
(a1+
109
2
d)-(a1+
99
2
d)   
10
=
d
2

所以三点(10,
S10
10
),(100,
S100
100
),(110,
S110
110
)
共线.此选项正确;
②若{an}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,所以a1+2d+a1+6d=-6,解得d=2,所以数列是递增数列,则S1、S2、…、Sn这n个数中不存在一个最大者;②不正确;
③若{an}是等比数列,则Sm=
a1(1-qm
1-q

S2m-Sm=
a1(1-q2m)
1-q
-
a1(1-qm)
1-q
=
a1(qm-q2m)
1-q

S3m-S2m=
a1(1-q3m)
1-q
-
a1(1-q2m)
1-q
=
a1(q2m-q3m)
1-q

因为[
a1(qm-q2m)
1-q
]
2
=
a1(1-qm)
1-q
a1(q2m-q3m)
1-q

所以Sm、S2m-Sm、S3m-S2m(m∈N*)也是等比数列,
当公比q=-1,且m为偶数时,该命题错误.
④若Sn+1=a1+qSn(其中常数a1q≠0),如果数列是等比数列,设公比为q,则Sn+an+1=a1+qSn∴Sn(1-q)=a1-an+1=a1(1-qn),显然数列{an}是等比数列.正确.
故答案为:①④.
点评:本题考查等差数列、等比数列的基本性质,通过对数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.
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