题目内容
已知数列{an}(n∈N*),其前n项和为Sn,给出下列四个命题:
①若{an}是等差数列,则三点(10,
)、(100,
)、(110,
)共线;
②若{an}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,则S1、S2、…、Sn这n个数中必然存在一个最大者;
③若{an}是等比数列,则Sm、S2m-Sm、S3m-S2m(m∈N*)也是等比数列;
④若Sn+1=a1+qSn(其中常数a1q≠0),则{an}是等比数列.
其中正确命题的序号是
①若{an}是等差数列,则三点(10,
S10 |
10 |
S100 |
100 |
S110 |
110 |
②若{an}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,则S1、S2、…、Sn这n个数中必然存在一个最大者;
③若{an}是等比数列,则Sm、S2m-Sm、S3m-S2m(m∈N*)也是等比数列;
④若Sn+1=a1+qSn(其中常数a1q≠0),则{an}是等比数列.
其中正确命题的序号是
①④
①④
.(将你认为的正确命题的序号都填上)分析:①利用第1和2点的坐标表示出确定直线的斜率,利用等差数列的前n项和的公式化简得到直线的斜率;然后再利用第3和2点的坐标表示出确定直线的斜率,利用等差数列的前n项和的公式化简得到直线的斜率,判断求得的斜率相等与否,即可得到三点共线与否;
②若{an}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,求出数列的公差,即可判断S1、S2、…、Sn这n个数中是否存在一个最大者;
③若{an}是等比数列,利用等比数列前n项和公式,求出Sm、S2m-Sm、S3m-S2m(m∈N*)即可判断是否是等比数列;
④若Sn+1=a1+qSn(其中常数a1q≠0),转化为数列的前n项和公式,即可判断{an}是不是等比数列.
②若{an}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,求出数列的公差,即可判断S1、S2、…、Sn这n个数中是否存在一个最大者;
③若{an}是等比数列,利用等比数列前n项和公式,求出Sm、S2m-Sm、S3m-S2m(m∈N*)即可判断是否是等比数列;
④若Sn+1=a1+qSn(其中常数a1q≠0),转化为数列的前n项和公式,即可判断{an}是不是等比数列.
解答:解:①因为
=
=a1+
d,同理
=a1+
d,
=a1+
d,
则
=
=
=
=
=
,
所以三点(10,
),(100,
),(110,
)共线.此选项正确;
②若{an}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,所以a1+2d+a1+6d=-6,解得d=2,所以数列是递增数列,则S1、S2、…、Sn这n个数中不存在一个最大者;②不正确;
③若{an}是等比数列,则Sm=
;
S2m-Sm=
-
=
;
S3m-S2m=
-
=
;
因为[
]2=
•
,
所以Sm、S2m-Sm、S3m-S2m(m∈N*)也是等比数列,
当公比q=-1,且m为偶数时,该命题错误.
④若Sn+1=a1+qSn(其中常数a1q≠0),如果数列是等比数列,设公比为q,则Sn+an+1=a1+qSn∴Sn(1-q)=a1-an+1=a1(1-qn),显然数列{an}是等比数列.正确.
故答案为:①④.
S10 |
10 |
10a1+
| ||
10 |
9 |
2 |
S100 |
100 |
99 |
2 |
S110 |
110 |
109 |
2 |
则
| ||||
100-10 |
(a1+
| ||||
90 |
d |
2 |
| ||||
110-100 |
(a1+
| ||||
10 |
d |
2 |
所以三点(10,
S10 |
10 |
S100 |
100 |
S110 |
110 |
②若{an}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,所以a1+2d+a1+6d=-6,解得d=2,所以数列是递增数列,则S1、S2、…、Sn这n个数中不存在一个最大者;②不正确;
③若{an}是等比数列,则Sm=
a1(1-qm) |
1-q |
S2m-Sm=
a1(1-q2m) |
1-q |
a1(1-qm) |
1-q |
a1(qm-q2m) |
1-q |
S3m-S2m=
a1(1-q3m) |
1-q |
a1(1-q2m) |
1-q |
a1(q2m-q3m) |
1-q |
因为[
a1(qm-q2m) |
1-q |
a1(1-qm) |
1-q |
a1(q2m-q3m) |
1-q |
所以Sm、S2m-Sm、S3m-S2m(m∈N*)也是等比数列,
当公比q=-1,且m为偶数时,该命题错误.
④若Sn+1=a1+qSn(其中常数a1q≠0),如果数列是等比数列,设公比为q,则Sn+an+1=a1+qSn∴Sn(1-q)=a1-an+1=a1(1-qn),显然数列{an}是等比数列.正确.
故答案为:①④.
点评:本题考查等差数列、等比数列的基本性质,通过对数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.

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