题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求
的最小值.
(Ⅱ)若在区间
上有两个极值点
,
(i)求实数的取值范围;
(ii)求证:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)
;(ii)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出,列表讨论
的单调性,问题得解。
(Ⅱ)(i)由在区间
上有两个极值点转化成
有两个零点,即
有两个零点,求出
,讨论
的单调性,问题得解。
(ii)由得
,将
转化成
,由
得单调性可得
,讨论
在
的单调性即可得证。
解:(Ⅰ)当时,
,
,令
,得
.
的单调性如下表:
| | | |
| - | 0 | + |
| 单调递减 | | 单调递增 |
易知.
(Ⅱ)(i).令
,则
.
令,得
.
的单调性如下表:
| | | |
| - | 0 | + |
| 单调递减 | | 单调递增 |
在区间
上有两个极值点,即
在区间
上有两个零点,
结合的单调性可知,
且
,即
且
.
所以,即
的取值范围是
.
(ii)由(i)知,所以
.
又,
,
,结合
的单调性可知,
.
令,则
.当
时,
,
,
,
所以在
上单调递增,而
,
,
因此.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知椭圆:
(
)的左焦点为
,其中四个顶点围成的四边形面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线
与曲线
交于
,
两点,设
的中点为
,
,
两点为椭圆
上关于原点
对称的两点,且
(
),求四边形
面积的最小值.
【题目】2018年6月14日,世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕,世界杯给俄罗斯经济带来了一定的增长,某纪念商品店的销售人员为了统计世界杯足球赛期间商品的销售情况,随机抽查了该商品商店某天200名顾客的消费金额情况,得到如图频率分布表:将消费顾客超过4万卢布的顾客定义为”足球迷”,消费金额不超过4万卢布的顾客定义为“非足球迷”。
消费金额/万卢布 | 合计 | ||||||
顾客人数 | 9 | 31 | 36 | 44 | 62 | 18 | 200 |
(1)求这200名顾客消费金额的中位数与平均数(同一组中的消费金额用该组的中点值作代表;
(2)该纪念品商店的销售人员为了进一步了解这200名顾客喜欢纪念品的类型,采用分层抽样的方法从“非足球迷”,“足球迷”中选取5人,再从这5人中随机选取3人进行问卷调查,则选取的3人中“非足球迷”人数的分布列和数学期望。