题目内容
已知函数的图象是自原点出发的一条折线.当
时,该图象是斜率为
的线段(其中正常数
),设数列
由
定义. 求:
求和
的表达式;
求的表达式,并写出其定义域;
证明:的图像与
的图象没有横坐标大于1的交点.
【小题1】依题意,又由
,当
时,函数
的图象是斜率为
的线段,故由
得
又由,当
时,函数
的图象是斜率为
的线段,故由
,即
得
记由函数
的图象中第
段线段的斜率为
,故得
又
∴
由此知数列为等比数列,其首项为1,公比为
因,得
即
【小题2】当时,从(1)可知
,即当
时,
当时,即当
时,由(1)可知
为求函数的定义域,须对
进行讨论.
当时,
时,
,
也趋向于无穷大.
综上,当时,
的定义域为
当时,
的定义域为
【小题3】证法1 首先证明当时,恒有
成立.
对任意的,存在
使
,此时有
又
即有成立.
其次,当,仿上述证明,可知当
时,恒有
成立.
故函数的图象与
的图象没有横会标大于1的交点.
解析:
本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识,考查归纳、推理和综合的能力.
【小题1】由斜率分式求出,同样由斜率公式求出关于
的递推式,然后求出
,
【小题2】由点斜式求出段的
的表达式,用极限的方法求出定义域.
【小题3】与
没有交点,只要
时
,或
时
恒成立,当
,由于
,只要证
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