Question

设数列的前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列，在两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求的值；
（3）对于（2）中的数列，若，并求（用表示）．

Answer 1

（1）；（2） 
（3） 

解析试题分析：（1）当时，由.又与相减得：
，故数列是首项为1，公 比为2的等比数列，所以； 4分
（2）设和两项之间插入个数后，这个数构成的等差数列的公差为，则
，又，故  8分
（3）依题意，

，考虑到，
令，则
，
所以  12分
考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和。
点评：典型题，本题首先由的关系，确定数列的通项公式是关键。求和过程中应用了“错位相减法”。在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到。