Question

（2013•温州二模）如图，在正六边形ABCDE中，点P是△CDE内（包括边界）的一个动点，设

AP

=λ

AB

+μ

AF

（λ，μ∈R）则λ+μ的取值范围（　　）

A．[1，2]

B．[2，3]

C．[2，4]

D．[3，4]

Answer 1

分析：通过建立坐标系，写出点的坐标及直线方程，设动点P的坐标写出动点P的可行域；写出向量的坐标，据已知条件中的向量等式得到λ，μ与x，y的关系代入点P的可行域得λ，μ的可行域，利用线性规划求出λ+μ的取值范围

解答：解：建立如图坐标系，设AB=2，则A（0，0），B（2，0），
C（3，

3

），D（2，2

3

），E（0，2

3

），F（-1，

3

）
则EC的方程：x+

3

y-6=0；CD的方程：

3

x+y-4

3

=0；
因P是△CDE内（包括边界）的动点，则可行域为

x+ 3 y-6≥0 3 ≤y≤2 3 x+y-4 3 ≤0

又

AP

=λ

AB

+μ

AF

，
则

AP

=（x，y），

AB

=（2，0），

AF

=（-1，

3

），
所以（x，y）=λ（2，0）+μ（-1，

3

）
得

x=2λ-μ y= 3 μ

⇒

2λ-μ+ 3 • 3 -6≥0 3 ≤μ≤2 3

⇒

λ+μ≥3 1≤μ≤2 λ≤2

⇒3≤λ+μ≤4．
则λ+μ的取值范围为[3，4]．
故选D．

点评：本题考查向量在几何中的应用，解答的关键是通过建立直角坐标系将问题转化为线性规划问题，通过线性规划求出范围．