我们把离心率相等的椭圆按称之为“同基椭圆 .已知椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{m} {1}^{2}}$+y2=1(m1＞1)和椭圆C2:y2+$\frac{{x}^{2}}{{m} {2}^{2}}$=1(0＜m2＜1)为“同基椭圆 .直线l:y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$与曲线C1从左至右交于A.D两点.与曲线C2从左至右交于B.C两点.O为坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．我们把离心率相等的椭圆按称之为“同基椭圆”，已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{m}_{1}^{2}}$+y²=1（m₁＞1）和椭圆C₂：y²+$\frac{{x}^{2}}{{m}_{2}^{2}}$=1（0＜m₂＜1）为“同基椭圆”，直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$与曲线C₁从左至右交于A、D两点，与曲线C₂从左至右交于B、C两点，O为坐标原点，且|AC|=$\frac{5}{4}$，则椭圆C₁、C₂的交点个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

无数个

分析运用离心率公式和将直线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$分别代入C₁，C₂方程，求得A，C两点的坐标，再由两点的距离公式，解方程可得椭圆方程，再求两椭圆的交点，即可得到结论．

解答解：由于C₁，C₂的离心率相等，则$\frac{\sqrt{{{m}_{1}}^{2}-1}}{{m}_{1}}$=$\sqrt{1-{{m}_{2}}^{2}}$，
即有m₁m₂=1，
将y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$分别代入C₁，C₂方程，由$\frac{{x}^{2}}{{{m}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{4}$=1⇒x_A=-$\frac{1}{2}$m₁，
由$\frac{{x}^{2}}{{{m}_{2}}^{2}}$+$\frac{3}{4}$=1⇒x_C=$\frac{1}{2}$m₂，
则A（-$\frac{1}{2}$m₁，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{1}{2}$m₂，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
又|AC|=$\frac{5}{4}$，则$\frac{1}{2}$m₁+$\frac{1}{2}$m₂=$\frac{5}{4}$，
又m₁m₂=1，解得m₁=2，m₂=$\frac{1}{2}$，
则有C₁，C₂的方程分别为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，4x²+y²=1，
解得交点为（0，1），（0，-1）．
故它们的交点个数为2．
故选B．