Question

【题目】如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．

(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；

(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．

Answer 1

【答案】(1) .(2) 见解析.

【解析】(1)解:取CD的中点G,

连结MG,NG.

因为四边形ABCD,DCEF为正方形,

且边长为2,

所以MG⊥CD,MG=2,NG=.

因为平面ABCD⊥平面DCEF,

所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.

所以MN==.

(2)证明:假设直线ME与BN共面,

则AB平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.

由题意知两正方形不共面,故AB平面DCEF.

又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,

而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,

所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,

这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立.

所以ME与BN不共面,它们是异面直线.