Question

一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中、分别是、的中点，是上的一动点，主视图与俯视图都为正方形。

⑴求证：；
⑵当时，在棱上确定一点，使得∥平面，并给出证明。
⑶求二面角的平面角余弦值。

Answer 1

(1)利用线面垂直，，以及，进而证明线线垂直。
(2)

试题分析：① （4分）
②如图所示，建立空间直角坐标系，

设 ，有
 
设平面的法向量为

则 令得到
  ∵ 得到 得到P点为A点   （8分）
③平面的法向量为，
设所求二面角为，则  12分）
点评：对于立体几何中垂直的证明，一般要熟练的掌握线面垂直的判定定理和性质定理来得到，同时能结合向量法表示出二面角，这是一般的求解二面角的方法之一，属于中档题。