题目内容
【题目】已知椭圆E：
的离心率为
，且过点
求椭圆E的方程；
设直线
与椭圆E交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点
且C、D在A、B之间或同时在A、B之外
问：是否存在定值k，使得
的面积与
的面积总相等，若存在，求k的值，并求出实数m取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在定值
，实数m取值范围为
．
【解析】
由椭圆E：
的离心率为
，且过点
列式计算出a，b即可．
联立直线与椭圆方程，消去y得，通过
得
设
，
，利用韦达定理求出
，由题意，不妨设设
，
，通过
的面积与
的面积总相等转化为线段AB的中点与线段CD的中点重合，求出k，即可得到结果．
依题意可得
，
椭圆方程为：；
联立
，消去y，可得
，
，
由，可得
，
设，，则，
由题意可设，，
的面积与的面积相等
恒成立
线段AB的中点和线段CD中点重合．
即有
，解得，
由
且
，可得
或
．
即存在定值，都有的面积与的面积相等．
此时，实数m取值范围为．
名校课堂系列答案
【题目】我国全力抗击“新冠疫情”对全球做出了巨大贡献，广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动，活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查，其中关于4项子活动的赞同情况统计如下：
班级代码 | A | B | C | D | E | 合计 |
4项子活动全部赞同的人数 | 3 | 4 | 8 | 3 | 2 | 20 |
4项子活动不全部赞同的人数 | 1 | 1 | 0 | 2 | 1 | 5 |
合计问卷调查人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 | 25 |
现欲针对4项子活动的活动内容作进一步采访调研，每项子活动采访1名学生.
（1）若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访，求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”的概率；
（2）若从A班和E班的被问卷调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象，记选取的4人中“4项子活动全部赞同”的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望
.
