Question

（2011•东城区二模）在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N^*都成立．
（Ⅰ）求a₂的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{a_n}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设bn=(1+1)(1+

1

2

)…(1+

1

2n

)，cn=6(1-

1

2n

)，求证：对任意的n∈N^*，

bn-cn

an-12

≥0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据{a_n}为单调递增数列，a₁=2，在不等式（n+1）a_n≥na_2n中令n=1即可求a₂的取值范围；
（Ⅱ）可用反证法证明：假设数列{a_n}是公比为q的等比数列，可得a_n=2q^n-1根据{a_n}为单调递增数列，可求得q＞1，由（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N^*都成立，利用等比数列的性质可得1+

1

n

≥qⁿ①，因为q＞1，所以?n₀∈N^*，使得当n≥n₀时，qⁿ＞2，从而1+

1

n

＞2，与1+

1

n

≤2矛盾，于是可判断数列{a_n}不能为等比数列；
（Ⅲ）对于

bn-cn

an-12

≥0的分子部分，可根据b₁=c₁=3，结合已知条件，求得b₂，c₂；b₃，c₃通过比较两者的大小，猜想b_n≤c_n．然后用数学归纳法予以证明；对于其分母，可结合条件证明a_n＜12，从而是问题得到解决．

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是单调递增数列，
∴a₂＞a₁，a₂＞2．
令n=1，2a₁≥a₂，a₂≤4，
∴a₂∈（2，4]．（4分）
（Ⅱ）证明：数列{a_n}不能为等比数列．
用反证法证明：
假设数列{a_n}是公比为q的等比数列，a₁=2＞0，a_n=2q^n-1．
因为{a_n}单调递增，所以q＞1．
因为n∈N^*，（n+1）a_n≥na_2n都成立．
所以n∈N^*，1+

1

n

≥qⁿ①
因为q＞1，所以?n₀∈N^*，使得当n≥n₀时，qⁿ＞2．
因为1+

1

n

≤2（n∈N^*）．
所以?n₀∈N^*，当n≥n₀时，qn＞1+

1

n

，与①矛盾，故假设不成立．（9分）
（Ⅲ）证明：观察：b₁=c₁=3，b2=

15

4

＜c2=

9

2

，b3=

135

32

＜c3=

21

4

，…，猜想：b_n≤c_n．
用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，b₁=3≤c₁=3成立；
（2）假设当n=k时，b_k≤c_k成立；
当n=k+1时，
bk+1=bk(1+

1

2k+1

)≤ck(1+

1

2k+1

)=6(1-

1

2k

)(1+

1

2k+1

)=6(1+

1

2k+1

-

1

2k

-

1

22k+1

)=6(1-

1

2k+1

-

1

22k+1

)＜6(1-

1

2k+1

)=c_k+1
所以b_k+1≤c_k+1．
根据（1）（2）可知，对任意n∈N^*，都有b_n≤c_n，即b_n-c_n≤0．
由已知得，a2n≤(1+

1

n

)an．
所以a2n≤(1+

1

2n-1

)a2n-1≤…≤(1+

1

2n-1

)…(1+

1

2

)(1+1)a1．
所以当n≥2时，a2n≤2bn-1≤2c_n-1=12(1-

1

2n-1

)＜12．
因为a₂＜a₄＜12．
所以对任意n∈N^*，a2n＜12．
对任意n∈N^*，存在m∈N^*，使得n＜2^m，
因为数列{a_n}单调递增，
所以an＜a2m＜12，a_n-12＜0．
因为b_n-c_n≤0，
所以

bn-cn

an-12

≥0．（14分）

点评：本题考查反证法与放缩法，数学归纳法及数列与不等式的综合，难点在于（Ⅱ）反证法的使用与（Ⅲ）中

bn-cn

an-12

≥0需分别从分子与分母两处着手，用数学归纳法证明b_n≤c_n，用放缩法证明a_n-12＜0，属于难题．