Question

【题目】已知函数f (x)=x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )

A. x0∈R，f (x0)＝0

B. 函数y＝f (x)的图象是中心对称图形

C. 若x0是f (x)的极小值点，则f (x)在区间(∞，x0)上单调递减

D. 若x0是f (x)的极值点，则f ′(x0)＝0

Answer 1

【答案】C

【解析】试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.