题目内容
3．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2-alnx，f′（x）-2e=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$恰有两个交点．求a的取值范围．分析 先求导得到，分离参数得到a=x2-2ex-$\frac{lnx}{x}$，构造函数g（x）=x2-2ex-$\frac{lnx}{x}$，再根据导数求出函数的最小值，问题得以解决．
解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x2-alnx，x＞0
∴f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
∴x-$\frac{a}{x}$-2e=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∴x2-a-2ex=$\frac{lnx}{x}$，
∴a=x2-2ex-$\frac{lnx}{x}$，
设g（x）=x2-2ex-$\frac{lnx}{x}$，
当x→0时，g（x）→+∞．
当x→+∞＞，g（x）→+∞．
∴g′（x）=2x-2e-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．
当x＞e时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当0＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）递减．
当x=e时g（x）取最小值g（e）=-e2-$\frac{1}{e}$
因此为使恰有两个交点，a＞-e2-$\frac{1}{e}$
点评 本题考查了导数和函数的最值得关系，以及参数得取值范围，关键时构造函数，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | 2+2$\sqrt{2}$ | B． | 2-2$\sqrt{2}$ | C． | 2±2$\sqrt{2}$ | D． | 0 |
18．若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值是（ ）
| A． | 1 | B． | $\frac{1}{64}$ | C． | 1或$\frac{1}{64}$ | D． | 1或-$\frac{1}{64}$ |
15．已知y=f（x）为R上的连续函数，其导数为f′（x），当x≠0时，f′（x）＞$\frac{-f（x）}{x}$，则关于x的函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$的零点个数为（ ）
| A． | 1 | B． | 0 | C． | 0或2 | D． | 2 |
12．已知函数f（x）=ex-x2，g（x）=ax+b（a＞0），若对?x1∈[0，2]，?x2∈[0，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a，b的取值范围是（ ）
| A． | 0＜a≤$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≥1 | B． | 0＜a≤$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≤1 | C． | a≥$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≥1 | D． | a≥$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≤1 |