Question

已知向量

a

=(cos4x-sin4x，2sinx)，

b

=(-1，

3

cosx)，设函数f(x)=

a

•

b

 ， x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最小值及取得最小值时的x值．

Answer 1

分析：通过向量计算，求出f(x)=

a

•

b

， x∈R，化为一个角的一个三角函数的形式，
（Ⅰ）直接求f（x）的最小正周期，根据正弦函数的单调递减区间，求出f（x）的单调减区间．
（Ⅱ）在[0，

π

2

]上确定2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，然后求f（x）的最小值及取得最小值时的x值．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

a

•

b

=sin4x-cos4x+2

3

sinx•cosx
f(x)=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+

3

sin2x
=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
∴T=

2π

|ω|

=π
设2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π，(k∈Z)
则kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π，(k∈Z)
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5

6

π](k∈Z)
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
从而f(x)=2sin(2x-

π

6

)∈[-1，2]
∴f（x）在[0，

π

2

]上的最小值为-1，此时x=0．

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，平面向量数量积的运算，正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．