Question

（2013•蓟县二模）已知函数f（x）=-

1

3

x3+

1

2

(2a+1)x2-2ax+1，其中a为实数．
（Ⅰ）当a≠

1

2

时，求函数f（x）的极大值点和极小值点；
（Ⅱ） 若对任意a∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有ta²-f（x）＞

3

2

成立，求实数t的取值范围．
（Ⅲ）已知g（x）=a²x²+ax+1，m（x）=

4

3

x3-(a2+

3

2

)x2+（2a+5）x-3，h（x）=f（x）+m（x），设函数q（x）=

g(x)，x≥0 h(x)，x＜0.

是否存在a，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q′（x₂）=q′（x₁）成立？若存在，求a的值；若不存，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 f′（x）=-x²+（2a+1）x-2a=0，得x₁=1，x₂=2a，按两根1与2a的大小关系进行分类讨论，列出f′（x）、f（x）随x的变化情况表，根据极值点的定义可求；
（II）由题意可知，先使得对任意x∈[1，3]时，恒有ta2-f(x)＞

3

2

成立，然后再使得任意a∈（2，3）时不等式恒成立，分别转化函数最值求解即可；
（Ⅲ）求出x＜0和x＞0时q′（x）及其值域，易知a≠0，分x₁＞0和x₁＜0两种情况进行讨论，按照值域的包含关系可得a的范围；

解答：解：（Ⅰ）令 f′（x）=-x²+（2a+1）x-2a=0，解得x₁=1，x₂=2a，
（1）当a＞

1

2

时，

x	（-∞，1）	1	（1，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在x=1处取得极小值，极小值点为x=1；
函数f（x）在x=2a处取得极大值，极大值点为x=2a；
（2）当a＜

1

2

时，

x	（-∞，2a）	2a	（2a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在x=1处取得极大值，极大值点为x=1；
函数f（x）在x=2a处取得极小值，极小值点为x=2a．
（II）由题意可知，对任意a∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有ta2-f(x)＞

3

2

成立等价于ta2-

3

2

＞f(x)max，
f（x）在x∈[1，3]上的最大值为f（3）=3a-

7

2

，
任意a∈（2，3）时，ta2-

3

2

＞f(x)max=3a-

7

2

恒成立，
∴t＞

3

a

-

2

a2

，a∈（2，3）时恒成立，
令g（a）=

3

a

-

2

a2

，令m=

1

a

，m∈（

1

3

，

1

2

），g（m）在m∈（

3

a

-

2

a2

）时为增函数，
∴

7

9

＜g（x）＜1，
∴实数t的取值范围为t≥1；
（III）当x＜0时，有q′（x）=h′（x）=3x²-2（a²-a-1）x+5，
当x＞0时，有q′（x）=g（x）=2a²x+a，因为a=0时不符合题意，因此a≠0，
下面讨论a≠0的情形，记A=（a，+∞），B=（5，+∞），
（i）当x₁＞0时，q′（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以要使q′（x₂）=q′（x₁）成立，只能x′₂＜0成立且A⊆B，
因此有a≥5；
（ii）当x₁＜0时，q′（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以要使q′（x₂）=q′（x₁）成立，只能x₂＞0且B⊆A，因此a≤5，
综合（i）（ii）a=5；
当a=5时A=B，则?x₁＜0，q′（x₁）∈B=A，即?x₂＞0，使得q′（x₂）=q′（x₁）成立，
因为q′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x₂的值是唯一的；
同理，?x₁＞0，即存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），q′（x）在（0，+∞）上单调递增，
要使q′（x₂）=q′（x₁）成立，所以a=5满足题意．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值及恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大．