Question

设a，b，c分别是△ABC的三个角A，B，C所对的边，研究A=2B是a²=b（b+c）的什么条件？以下是某同学的解法：
由A=2B，得sinA=sin2B，即：sinA=2sinB•cosB⇒a=2bcosB
⇒a=2b•

a2+c2-b2

2ac

．变形得a²c=a²b+bc²-b³⇒a²（c-b）
=b（b+c）（c-b）
所以，b=c或a²=b（b+c）
由此可知：A=2B是a²=b（b+c）的必要非充分条件．
请你研究这位同学解法的正误，并结合自己的思考，可以得到“A=2B”是“a²=b（b+c）”的（　　）条件．

A．充分非必要

B．必要非充分

C．充要

D．非充分非必要

Answer 1

分析：此同学的解法过程没有问题，只是没有意识到b=c时，亦有a²=b（b+c）成立，此说明此解法化角为边有不完善之处，现提供另一解法，从角的三角函数的角度进行证明，先化边为角，再利用三角恒等变换公式进行变形证明出结论，选出正确选项

解答：解：此同学的解法是错误的，这是因为当b=c时，亦有a²=b（b+c），这是一个特殊情况，这说明此解法有不完善之处，正确证明过程如下：
先证a²=b（b+c）是A=2B的充分条件
∵a²=b（b+c）
∴4R²sinA²=4R²sinB（sinB+sinC）
∴sinA²=sinB（sinB+sinC）
∴（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sinB×sinC
又sinA-sinB=2sin

A-B

2

cos

A+B

2

sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

∴（sinA-sinB）（sinA+sinB）
=2sin

A-B

2

cos

A+B

2

×2sin

A+B

2

cos

A-B

2

=sin（A-B）sin（A+B）
又sin（A-B）sin（A+B）=sinB×sinC=sinB×sin（A+B）
∴sin（A-B）=sinB
∴A-B=B
∴A=2B
再证a²=b（b+c）是A=2B的必要条件，
由上证每步都可逆，故A=2B时，亦有a²=b（b+c），即A=2B是a²=b（b+c）的充分条件
综上得，该同学证明错误，应为充要条件
故选C

点评：本题是一个证明题，充要条件的证明要分充分性与必要性分别证明，解题的关键是正确理解充要条件证明的规律，理解充要条件，分清楚那个证明方向是充分性那个证明方向是必要性，由此同学的证明方法可以得出这么一个结论即证明问题时选取的角度不同，证明的结论可能是不同的，对一个题找到最合适的证明方法是正确求解的重点．