题目内容
7．数列{an}满足a1=1，a2=r（r＞0），令bn=an•an+1，{bn}是公比为q（q≠0，q≠-1）的等比数列，设cn=a2n-1+a2n．（1）求证：cn=（1+r）•qn-1；
（2）设{cn}的前n项和为Sn，求$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$的值；
（3）设{cn}前n项积为Tn，当q=-$\frac{1}{2}$时，Tn的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，Tn取到最小值．
分析 （1）根据题意得出$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=q（n≥2），判断出奇数项，偶数项分别成等比数列，运用等比数列的通项公式求解即可．
（2）运用等比数列的求和公式得出q=1时，Sn=（1+r）n，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=0，q≠1时，Sn=$\frac{（1+r）（1-{q}^{n}）}{1-q}$，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\frac{1-q}{（1+r）（1-{q}^{n}）}$，分类讨论求解即可
（3）利用条件得出（1+r）8（-$\frac{1}{2}$）28=（1+r）9（-$\frac{1}{2}$）36，r=28-1=255，
Tn=（256）n•（-2）${\;}^{\frac{n（1-n）}{2}}$=（-1）${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$•2，再根据函数性质得出最小项，注意符号即可．
解答 解：（1）bn=an•an+1，{bn}是公比为q（q≠0，q≠-1）的等比数列，
因为数列{anan+1}是一个以q（q≠0，q≠-1））为公比的等比数列
因此$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=q，所以$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=q（n≥2），
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=q（n≥2），
∴奇数项，偶数项分别成等比数列
∵设cn=a2n-1+a2n．
∴cn=1•qn-1+r•qn-1=（1+r）•qn-1
∴bn=（1+r）•qn-1
（2）q=1时，Sn=（1+r）n，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=0
q≠1时，Sn=$\frac{（1+r）（1-{q}^{n}）}{1-q}$，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\frac{1-q}{（1+r）（1-{q}^{n}）}$
若q＞1，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\frac{1-q}{1+r}$
q＜-1时，时极限不存在．
若0＜q＜1或-1＜q＜0时，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=0
∴$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\left\{\begin{array}{l}{0，-1＜q＜0或0＜q＜1}\\{\frac{1-q}{1+r}，q＞1或q＜-1}\end{array}\right.$
（3）设{cn}前n项积为Tn，当q=-$\frac{1}{2}$时，Tn=（1+r）n$•{q}^{\frac{n（n-1）}{2}}$
∵Tn的最大值在n=8和n=9的时候取到，
∴（1+r）8（-$\frac{1}{2}$）28=（1+r）9（-$\frac{1}{2}$）36，r=28-1=255，
∴Tn=（256）n•（-2）${\;}^{\frac{n（1-n）}{2}}$=（-1）${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$•2${\;}^{\frac{17n-{n}^{2}}{2}}$，
根据数列的函数性质得出n=7，n=10时，Tn的最小值为-235．
点评 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求通项公式，等比数列求和公式的应用，数列极限的求解，要注意等比数列求和公式应用时对公比q的讨论，根据函数的性质解析式确定最值．
| A． | 1 | B． | $\frac{3}{4}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{1}{8}$ |