题目内容
【题目】已知函数,其中
均为实数,
为自然对数的底数.
(I)求函数的极值;
(II)设,若对任意的
,
恒成立,求实数
的最小值.
【答案】(1)当时,
取得极大值
,无极小值;(2)
.
【解析】试题分析:(1)由题对 得
,研究其单调性,可得当
时,
取得极大值
,无极小值;
(2)由题当时,
,由单调性可得
在区间
上为增函数,根据
,构造函数
,
由单调性可得在区间
上为增函数,不妨设
,
则等价于
,
即,
故又构造函数,
可知在区间
上为减函数,∴
在区间
上恒成立,
即在区间
上恒成立,
∴,设
则,
∵,
∴,则
在区间
上为减函数,
∴在区间
上的最大值
,∴
,
试题解析:(1)由题得, ,
令,得
.,
列表如下:
1 | |||
大于0 | 0 | 小于0 | |
极大值 |
∴当时,
取得极大值
,无极小值;
(2)当时,
,
∵在区间
上恒成立,
∴在区间
上为增函数,
设,
∵在区间
上恒成立,
∴在区间
上为增函数,不妨设
,
则等价于
,
即,
设,
则在区间
上为减函数,
∴在区间
上恒成立,
∴在区间
上恒成立,
∴,
设,
∵,
∴,则
在区间
上为减函数,
∴在区间
上的最大值
,∴
,
∴实数的最小值为
.
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