题目内容

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
（1）函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心为．
（2）若函数g（x）= $数学公式$ x³- $数学公式$ x²+3x- $数学公式$ + $数学公式$ ，则g（ $数学公式$ ）+g（ $数学公式$ ）+g（ $数学公式$ ）+g（ $数学公式$ ）+…+g（ $数学公式$ ）=．

解：（1）∵函数f（x）=x³-3x²+3x，∴f′（x）=3x²-6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心为（1，1），
故答案为（1，1）．
（2）若函数g（x）= $\text{[math]}$ x³- $\text{[math]}$ x²+3x- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x³- $\text{[math]}$ x²+3x- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，令h（x）= $\text{[math]}$ x³- $\text{[math]}$ x²+3x- $\text{[math]}$ ，m（x）= $\text{[math]}$ ，则g（x）=h（x）+m（x）．
则h′（x）=x²-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x= $\text{[math]}$ ，故h（x）的对称中心为（ $\text{[math]}$ ，1）．
设点p（x₀，y₀）为曲线上任意一点，则点P关于（ $\text{[math]}$ ，1）的对称点P′（1-x₀，2-y₀）也在曲线上，
∴h（1-x₀）=2-y₀，∴h（x₀）+h（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．
∴h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）+…+h（ $\text{[math]}$ ）
=[h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）]+[h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）]+[h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）]+…+[h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）]=1005×2=2010．
由于函数m（x）= $\text{[math]}$ 的对称中心为（ $\text{[math]}$ ，0），可得m（x₀）+m（1-x₀）=0．
∴m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）+…+m（ $\text{[math]}$ ）
=[m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）]+[m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）]+[m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）]+…+[m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）]=1005×0=0．
∴g（ $\text{[math]}$ ）+g（ $\text{[math]}$ ）+g（ $\text{[math]}$ ）+g（ $\text{[math]}$ ）+…+g（ $\text{[math]}$ ）=h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）+…+h（ $\text{[math]}$ ）
+m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）+…+m（ $\text{[math]}$ ）
=2010+0=2010，
故答案为2010．
分析：（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心．
（2）令h（x）= $\text{[math]}$ x³- $\text{[math]}$ x²+3x- $\text{[math]}$ ，m（x）= $\text{[math]}$ ，则g（x）=h（x）+m（x）．利用对称性求得h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）+h（ $\text{[math]}$ ）+…+h（ $\text{[math]}$ ）=2010，求得m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）+m（ $\text{[math]}$ ）+…+m（ $\text{[math]}$ ）=0，从而求得g（x）=h（x）+m（x）的值．
点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．

试题分类