Question

【题目】设函数f（x）=ax﹣（m﹣2）a﹣x （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求m的值；
（2）若f（1）＜0，试判断y=f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定义域为R的奇函数，

可得f（0）=0，即a0﹣（m﹣2）a0=0，

即3﹣m=0，可得m=3

（2）解：f（1）＜0，即a﹣a﹣1＜0，

解得0＜a＜1．

由ax递减，a﹣x递增，

可得f（x）=ax﹣a﹣x在R上递减，

不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，

即为不等式f（x2+tx）＜﹣f（4﹣x）=f（x﹣4），

即有x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，

则△=（t﹣1）2﹣16＜0，

解得﹣3＜t＜5．

即t的取值范围是（﹣3，5）

（3）解：若f（1）= ，即a﹣a﹣1= ，

解得a=2．

则g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），

令t=2x﹣2﹣x，由x≥1可得t≥ ．

则函数y=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，

且在[ ，+∞）递增，

可得g（x）在[1，+∞）上的最小值为（ ﹣1）2+1=

【解析】（1）由题意可得f（0）=0，解方程可得m=3；（2）由f（1）＜0，可得0＜a＜1，判断f（x）递减，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0转化为x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，
由判别式小于0，解不等式即可得到t的范围；（3）f（1）= ，可得a=2，求出g（x）的解析式，令t=2x﹣2﹣x ， 由x≥1可得t≥ ．可得函数y=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，运用二次函数的单调性，可得所求最小值．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题．