Question

【题目】已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足6Sn=an2+3an+2，且a1 ， a2 ， a6是等比数列{bn}的前三项．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn ， n∈N*，求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：因为6Sn=an2+3an+2①，所以6Sn﹣1=an﹣12+3an﹣1+2②，

所以②﹣①得：6Sn﹣6Sn﹣1=an2+3an+2﹣an﹣12+3an﹣1+2，

所以3an+3an﹣1=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），

又因为正项数列{an}，所以an+an﹣1＞0，

所以an﹣an﹣1=3，

当n=1时，6S1=a12+3a1+2，

所以a1=1或2，

又因为a1=2时，a2=2+3=5，a6=2+5*3=17，显然a1，a2，a6不是等比数列，

所以a1=1，

所以an=a1+（n﹣1）d=3n﹣2；

又因为a1，a2，a6是等比数列{bn}的前三项，

所以a2=4，a6=16，

所以q=4，

所以bn}=a1*qn﹣1=4n﹣1

（2）解：由（1）可知anbn=（3n﹣2）*4n﹣1，

所以Tn=a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1+anbn=1*41+4*42+…+（3n﹣5）*4n﹣2+（3n﹣2）*4n﹣1①，

所以4Tn=1*42+4*43+…+（3n﹣5）*4n﹣1+（3n﹣2）*4n②，

所以①﹣②得：（1﹣4）Tn=1*41+3*42+3*43…+3*4n﹣1﹣（3n﹣2）*4n，

所以﹣3Tn=1*41+3* ﹣（3n﹣2）*4n，

所以Tn= +（n﹣1）4n

【解析】（1）由题意得，利用an=Sn﹣Sn﹣1 ， 求出数列{an}是等差数列，a1 ， a2 ， a6是等比数列求出首项为1，即可求出数列{an}的通项；a1 ， a2 ， a6是等比数列{bn}的前三项求出其公比，即求出{bn}的通项公式；（2）由（1）可知数列{anbn}的通项公式，再由错位相减求和法求出Tn ．
【考点精析】掌握等差数列的通项公式（及其变式）和等比数列的通项公式（及其变式）是解答本题的根本，需要知道通项公式：或；通项公式：．