题目内容
【题目】已知正项数列{an},其前n项和Sn满足6Sn=an2+3an+2,且a1 , a2 , a6是等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn , n∈N*,求Tn .
【答案】
(1)解:由题意得:因为6Sn=an2+3an+2①,所以6Sn﹣1=an﹣12+3an﹣1+2②,
所以②﹣①得:6Sn﹣6Sn﹣1=an2+3an+2﹣an﹣12+3an﹣1+2,
所以3an+3an﹣1=(an+an﹣1)(an﹣an﹣1),
又因为正项数列{an},所以an+an﹣1>0,
所以an﹣an﹣1=3,
当n=1时,6S1=a12+3a1+2,
所以a1=1或2,
又因为a1=2时,a2=2+3=5,a6=2+5*3=17,显然a1,a2,a6不是等比数列,
所以a1=1,
所以an=a1+(n﹣1)d=3n﹣2;
又因为a1,a2,a6是等比数列{bn}的前三项,
所以a2=4,a6=16,
所以q=4,
所以bn}=a1*qn﹣1=4n﹣1
(2)解:由(1)可知anbn=(3n﹣2)*4n﹣1,
所以Tn=a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1+anbn=1*41+4*42+…+(3n﹣5)*4n﹣2+(3n﹣2)*4n﹣1①,
所以4Tn=1*42+4*43+…+(3n﹣5)*4n﹣1+(3n﹣2)*4n②,
所以①﹣②得:(1﹣4)Tn=1*41+3*42+3*43…+3*4n﹣1﹣(3n﹣2)*4n,
所以﹣3Tn=1*41+3* ﹣(3n﹣2)*4n,
所以Tn= +(n﹣1)4n
【解析】(1)由题意得,利用an=Sn﹣Sn﹣1 , 求出数列{an}是等差数列,a1 , a2 , a6是等比数列求出首项为1,即可求出数列{an}的通项;a1 , a2 , a6是等比数列{bn}的前三项求出其公比,即求出{bn}的通项公式;(2)由(1)可知数列{anbn}的通项公式,再由错位相减求和法求出Tn .
【考点精析】掌握等差数列的通项公式(及其变式)和等比数列的通项公式(及其变式)是解答本题的根本,需要知道通项公式:或
;通项公式:
.

【题目】某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件,零件尺寸均在[21.7,22.3](单位:cm)之间,把零件尺寸在[21.9,22.1)的记为一等品,尺寸在[21.8,21.9)∪[22.1,22.2)的记为二等品,尺寸在[21.7,21.8)∪[22.2,22.3]的记为三等品,现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品,所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
附:
(1)根据上述数据完成下列2×2列联表,根据此数据,你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关?
甲工艺 | 乙工艺 | 总计 | |
一等品 | |||
非一等品 | |||
总计 |
(2)以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率,若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元,你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件?请说明理由.
【题目】已知圆过圆
与直线
的交点,且圆上任意一点关于直线
的对称点仍在圆上.
(1)求圆的标准方程;
(2)若圆与
轴正半轴的交点为
,直线
与圆
交于
两点,且点
是
的垂线(垂心是三角形三条高线的交点),求直线
的方程.
【题目】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量y(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
单价x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量y(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求回归直线方程,其中
,
;
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)