题目内容
设椭圆M：
＝1(a>
)的右焦点为F1，直线l：x＝
与x轴交于点A，若
1＝2
(其中O为坐标原点)．
(1)求椭圆M的方程；
(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求
·
的最大值．
（1）
＝1.（2）11.
【解析】(1)由题设知，A
，F1
，由
＝2
，
得
，解得a2＝6.
所以椭圆M的方程为M：＝1.
(2)设圆N：x2＋(y－1)2＝1的圆心为N，
则
＝(
－
)·(
－
)＝(－
－
)·(
－
)＝
2－
2＝
2－1.
从而求
的最大值转化为求
2的最大值．
因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x0，y0)，所以
＝1，
即
＝6－3
，因为点N (0,2)，所以
2＝
＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.
因为y0∈[－
，
]，所以当y0＝－1时，
2取得最大值12.所以
的最大值为11.
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