题目内容

已知向量
m
=(sinA，sinB），
n
=(cosB，cosA），
m
.
n
=sin2C且A，B，C分别为的三边a，b，c的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且
CA
．(
AB
-
AC
)=18，求边c的长．
分析：（Ⅰ）根据平面向量的数量积的运算法则及两角和的正弦函数公式化简
m
•
n
=sin2C，得到sin2C等于sinC，化简后即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差数列，根据等差数列的性质得到2sinC等于sinA+sinB，根据正弦定理得到2c=a+b，再根据向量的减法法则化简已知的
CA
•(
AB
-
AC
)=18，利用平面向量的数量积的运算法则得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度数，a+b=2c及ab的值代入即可列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
解答：解：（Ⅰ）
m
•
n
=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)
对于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC
∴
m
•
n
=sinC
又∵
m
•
n
=sin2C，
∴sin2C=2sinCcosC=sinC，即cosC=
1
2
，又C∈（0，π）
∴C=
π
3
；
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB
由正弦定理得2c=a+b，
∵
CA
•(
AB
-
AC
)=18，
∴
CA
•
CB
=18，
得abcosC=18，即ab=36，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，
∴c2=4c2-3×36，即c2=36，
∴c=6．
点评：此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算法则及向量的减法法则，掌握等差数列的性质，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及余弦定理化简求值，是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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