题目内容
【题目】已知椭圆
过点
，且离心率为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设椭圆在左、右顶点分别为
、
，左焦点为
，过的直线
与交于
、
两点（和均不在坐标轴上），直线
、
分别与
轴交于点
、
，直线
、
分别与轴交于点
、
，求证：
为定值，并求出该定值.
【答案】（1）
；（2）证明见解析，定值
.
【解析】
（1）设椭圆
的焦距为
，由离心率及过的点和
、
、
之间的关系求出椭圆的方程；
（2）设直线
的方程为
，将直线与椭圆的方程联立，设点
，
，求出两根之和及两根之积，写出
、
的方程由题意求出
、
的坐标，求出
的值，同理由题意求出
的值，进而求出比值为定值．
（1）设椭圆的焦距为，由题意，
，解得
，
，
所以，椭圆的方程为；
（2）由（1）知，
，
，
由题意，直线不与
轴垂直，且不过椭圆的上、下顶点，
故可设直线的方程为，设，.
由
，消去
，整理得
.
，由韦达定理，
，
.
直线的方程为
，
.
同理，
.
所以，
，
直线
的方程为
，
.
同理，
.
所以，
，
由题意，
，故
.
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