Question

设x,y,z>0,x+y+z=3,依次证明下列不等式,

(1)(2-)≤1.

(2)≥.

(3)++≥2.

 

Answer 1

见解析

【解析】证明：(1)由(2-)=-[()2-2+1]+1=-(-1)2+1≤1,

得(2-)≤1.

当且仅当xy=1时取等号.

(2)≥

=,

因为2+≤2+,且由(1)知(2-)≤1,

当且仅当x=y=1时取等号.

所以≥=①.

(3)同理可得≥②,

≥③,

由柯西不等式得(++)(a+b+c)≥9,

对于a,b,c>0,++≥④,

利用不等式④,

由①,②,③及已知条件x + y + z =3得

++≥++≥==2.