题目内容
【题目】已知函数有如下性质:如果常数
,那么该函数在
上是减函数,在
上是增函数.
(1)已知函数,利用上述性质,求函数
的单调区间和值域;
(2)已知函数=
和函数
,若对任意
,总存在
,使得
(x2)=
成立,求实数
的值.
【答案】(1)在
上单调递减,在
上单调递增,值域为
(2)a=
【解析】
(1)直接根据条件写出的单调区间,计算出
的最值从而可求解出值域;
(2)将变形为
,采用换元法根据已知条件求解出
的值域,同时求解出
的值域,根据两个函数的值域之间的关系列出不等式组,即可求解出
的值.
(1)由已知可知:函数在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,又
,
所以,所以
,
所以在
的值域为
;
(2),
设,
,
,则
,
,
由已知性质得,当1≤u≤2,即0≤x≤时,
单调递减,所以递减区间为
;
当2<u≤3,即<x≤1时,
单调递增,所以递增区间为
;
由,得
的值域为
.
因为为减函数,故
,
.
根据题意:的值域为
的值域的子集,
从而有,所以
.
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