Question

16．某款游戏共四关，玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏，每通过一关可得10分，现在甲和乙来玩这款游戏，已知甲每关通过的概率是$\frac{1}{2}$，乙每关通过的概率是$\frac{2}{3}$．
（1）求甲、乙两人最后得分之和为20的概率；
（2）设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“甲、乙最后得分之和为20”为事件A，“甲0分，乙（20分）”为事件B，“甲（10分），乙（10分）”为事件C，“甲（20分），乙0分”为事件D，利用独立重复试验的概率求解即可．
（2）X的所有可能取值为0，10，20，30，40．求出概率．得到X分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）设“甲、乙最后得分之和为20”为事件A，“甲0分，乙（20分）”为事件B，“甲（10分），乙（10分）”为事件C，“甲（20分），乙0分”为事件D
则$P（B）=（1-\frac{1}{2}）×（\frac{2}{3}{）^2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{2}{27}$，
$P（C）=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）×\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{18}$，
$P（D）=（\frac{1}{2}{）^2}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{24}$，
则$P（A）=P（B）+P（C）+P（D）=\frac{37}{216}$（6分）
（2）X的所有可能取值为0，10，20，30，40．
$P（X=0）=\frac{1}{2}$，
$P（X=10）=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}$，
$P（X=20）={（\frac{1}{2}）^2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{8}$，
$P（X=30）={（\frac{1}{2}）^3}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{16}$，
$P（X=40）={（\frac{1}{2}）^4}=\frac{1}{16}$，
X分布列为

X	0	10	20	30	40
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$

$E（X）=0×\frac{1}{2}+10×\frac{1}{4}+20×\frac{1}{8}+30×\frac{1}{16}+40×\frac{1}{16}=\frac{75}{8}$（12分）．

点评 本题考查独立重复试验的概率的求法，分布列以及期望的求法，考查计算能力．