Question

【题目】已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）= ．
（1）求a，b的值；
（2）不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）方程f（|2x﹣1|）+k（ ﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，

当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数，

故 ，可得 ， ．

当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数．

故 可得 可得 ，

∵b＜1

∴a=1，b=0

即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+ ﹣2．

（2）解：方程f（2x）﹣k2x≥0化为2x+ ﹣2≥k2x，

k≤1+ ﹣

令 =t，k≤t2﹣2t+1，

∵x∈[﹣1，1]，∴t ，记φ（t）=t2﹣2t+1，

∴φ（t）min=0，

∴k≤0．

（3）解：由f（|2x﹣1|）+k（ ﹣3）=0

得|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0，

|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，

令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），

∵方程|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，

∴由t=|2x﹣1|的图象（如下图）知，

t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，

记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），

则 或

∴k＞0．

【解析】（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a与0的大小讨论，列出方程，即可求a，b的值；（2）转化不等式f（2x）﹣k2x≥0，为k在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k的取值范围；（3）化简方程f（|2x﹣1|）+k（ ﹣3）=0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k的取值范围．
【考点精析】利用函数的零点与方程根的关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．