题目内容
【题目】设、
为曲线
上两点,
与
的横坐标之和为
.
(1)求直线的斜率;
(2)设弦的中点为
,过点
、
分别作抛物线的切线,则两切线的交点为
,过点
作直线
,交抛物线于
、
两点,连接
、
.证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)设点、
,可得出
,
,
,然后利用斜率公式可计算出直线
的斜率;
(2)利用导数求出和
,可证明出
,设直线
的方程为
,将直线
的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,求出点
的坐标,求出切线方程,可求出点
的坐标,设直线
的方程,与抛物线的方程联立,利用韦达定理结合斜率公式求出
,即可证得结论.
(1)设点、
,可得出
,
,
,
所以,直线的斜率
;
(2)由(1)知,等价于证明,
设直线的方程为
,联立
,消去
得
,
由韦达定理得,
,
对于函数,求导得
,
,
,
,
抛物线在点
处的切线方程为
,整理得
,
同理,抛物线在点
处的切线的方程为
,
联立方程组,解得
,
,
.
设、
,易知直线
的斜率存在,
因为,设直线
的方程为
,
代入抛物线,整理得
,
则,
.
所以,
,
,
,
,则点
,
所以,
,
所以.
综上可得,所以
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广,越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车。为了研究广大市民在共享单车上的使用情况,某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查,得到如下数据:
每周使用次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合计 | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
(1)如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”,请完成列表(见答题卡),并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下,认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关?
(2)每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”,视频率为概率,在我市所有“骑行达人”中,随机抽取4名用户.
① 求抽取的4名用户中,既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率;
②为了鼓励女性用户使用共享单车,对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元,记奖励总金额为,求
的分布列及数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分市某调查机构针对该市市场占有率最高的两种网络外卖企业
以下简称外卖A、外卖
的服务质量进行了调查,从使用过这两种外卖服务的市民中随机抽取了1000人,每人分别对这两家外卖企业评分,满分均为100分,并将分数分成5组,得到以下频数分布表:
分数 人数 种类 | |||||
外卖A | 50 | 150 | 100 | 400 | 300 |
外卖B | 100 | 100 | 300 | 200 | 300 |
表中得分越高,说明市民对网络外卖服务越满意若得分不低于60分,则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高
现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次:
分数 | ||||
服务质量指标 | 0 | 1 | 2 | 3 |
视频率为概率,解决下列问题:
从该市使用过外卖A的市民中任选5人,记对外卖A服务质量评价较高的人数为X,求X的数学期望.
从参与调查的市民中随机抽取1人,试求其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率;
在M市工作的小王决定从外卖A、外卖B这两种网络外卖中选择一种长期使用,如果从这两种外卖的“服务质量指标”的期望角度看,他选择哪种外卖更合适?试说明理由.