Question

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序加工结果均有A，B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．

（1）已知甲、乙两种产品第一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等级的概率P_甲，P_乙；
（2）现要求生产甲，乙两种产品各100个和200个，求这批产品中甲，乙分别有多少个一等品；
（3）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη．

Answer 1

【答案】分析：（1）每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到
（2）由题意可知甲和乙一等品的个数服从二项分布，甲一等品个数N_甲～B（100，0.68），乙一等品个数N_乙～B（200，0.6），根据二项分布的期望公式得到要求的产品个数．
（3）由题意得到两个变量的取值，做出对应事件的概率，写出分布列，求出期望．
解答：解：（1）∵每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，
两道工序的加工结果相互独立，
∴应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到
P_甲=0.8×0.85=0.68，
P_乙=0.75×0.8=0.6．

（2）由题意可知甲和乙一等品的个数服从二项分布，
甲一等品个数N_甲～B（100，0.68），
乙一等品个数N_乙～B（200，0.6），
∴甲一等品个数N_甲=100×0.68=68个，
乙一等品个数N_乙=200×0.6=120．

（3）由题意知ξ的取值是2.5，5
η的取值是1.5，，2.5，
P（ξ=2.5）=0.32
P（ξ=5）=0.68
P（η=2.5）=0.6
P（η=1.5）=0.4
∴随机变量ξ、η的分布列如下：

∴Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，
Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1
点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．