题目内容
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：
(1)
·
；
(2)·
；
(3)EG的长；
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
(1)
·；(2)
·；(3)EG的长；
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
（1）
（2）－ （3）
（4）
（2）－ （3） （4）解：设
＝a，
＝b，
＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.
＝
BD＝c－a，＝－a，＝b－c，
(1)·＝(c－a)·(－a)
＝a2－a·c＝；
(2)·＝ (c－a)·(b－c)
＝ (b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；
(3)
＝
＋
＋
＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c.
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝.
即||＝，
所以EG的长为.
(4)设
、
的夹角为θ.
＝b＋c，＝
＋
＝－b＋a，
cosθ＝
＝－，
由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.
＝BD＝c－a，＝－a，＝b－c，(1)
·＝(c－a)·(－a)＝
a2－a·c＝；(2)
·＝ (c－a)·(b－c)＝
(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；(3)
＝＋＋＝
a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c.|
|2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝.即|
|＝，所以EG的长为
.(4)设
、的夹角为θ.＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cosθ＝
＝－，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为
.
练习册系列答案
相关题目
，E是PB上任意一点．
，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．
中，平面
平面
.
平面
;
的大小
平面AEB，AE
为正方形，面
为等腰梯形，
，
，
，且平面
平面
与平面
所成角的正弦值；
上是否存在点
，使平面
？
，
〉的值为( )
A1D，AF＝
AC，则( )
到直线
的距离是________________.