题目内容
如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点,计算:

(1)
·
;
(2)
·
;
(3)EG的长;
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.

(1)


(2)


(3)EG的长;
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
(1)
(2)-
(3)
(4)




解:设
=a,
=b,
=c.
则|a|=|b|=|c|=1,
〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°.
=
BD=
c-
a,
=-a,
=b-c,
(1)
·
=(
c-
a)·(-a)
=
a2-
a·c=
;
(2)
·
=
(c-a)·(b-c)
=
(b·c-a·b-c2+a·c)=-
;
(3)
=
+
+
=
a+b-a+
c-
b=-
a+
b+
c.
|
|2=
a2+
b2+
c2-
a·b+
b·c-
c·a=
.
即|
|=
,
所以EG的长为
.
(4)设
、
的夹角为θ.
=
b+
c,
=
+
=-b+
a,
cosθ=
=-
,
由于异面直线所成角的范围是(0°,90°],
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为
.



则|a|=|b|=|c|=1,
〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°.






(1)




=



(2)



=


(3)




=






|








即|


所以EG的长为

(4)设









cosθ=


由于异面直线所成角的范围是(0°,90°],
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为


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