Question

6．已知|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|，且|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{3}$|${\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$|，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 120°

Answer 1

分析 可以看出，需对等式$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$两边平方，再带入$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，便可得到${\overrightarrow{b}}^{2}+2{\overrightarrow{b}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+{\overrightarrow{b}}^{2}$=$3{\overrightarrow{b}}^{2}-6{\overrightarrow{b}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+3{\overrightarrow{b}}^{2}$，这样显然可以求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，从而便可得出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：对$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$两边平方得：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=3|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$+3{\overrightarrow{b}}^{2}$；
∵$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$；
∴${\overrightarrow{b}}^{2}+2{\overrightarrow{b}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+{\overrightarrow{b}}^{2}$=$3{\overrightarrow{b}}^{2}-6{\overrightarrow{b}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+3{\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴$8cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=4$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
故选：C．

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角的概念及其范围，已知三角函数值求角．