Question

7．已知O为△ABC所在平面上一点，且$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{BC}$²=$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{CA}$²=$\overrightarrow{OC}$²+$\overrightarrow{AB}$²，则O一定为△ABC的（　　）

• A． 外心
• B． 内心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 根据向量的减法分别用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AB}$，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OC⊥AB，同理可得OB⊥AC，OA⊥BC，即证出O是△ABC的垂心．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{BC}$²=$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{CA}$²，
∴$\overrightarrow{OA}$²+（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）²=$\overrightarrow{OB}$²+（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$）²，
即$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{OC}$²-2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{OC}$²-2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$，
即$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$，即$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
即OC⊥AB，
同理，OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故选：D

点评 本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，特别证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．