Question

若（1-2^x）⁹展开式的第3项为288，则2-(

1

x

+

1

x2

+…+

1

x100

)=

2•(

2

3

)100

．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的第三项，列出方程求出x的值．再直接代入等比数列的求和公式即可得到结论．

解答：解：展开式的第三项为C₉²（-2^x）²=36×4^x
∴36×4^x=288
解得x=

3

2

．
故2-(

1

x

+

1

x2

+…+

1

x100

)=2-

1 x (1-( 1 x )100)

1- 1 x

=2-

2 3 (1-( 2 3 )100)

1- 2 3

=2-2（1-(

2

3

)100）=2•(

2

3

)100．
故答案为：2•(

2

3

)100．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题以及等比数列求和公式的应用，是对基础知识的综合考察，需要熟练掌握基础知识．