Question

若（1-2^x）⁹展开式的第三项为288，求

lim

n→+∞

(

1

x

+

1

x2

+…

1

xn

)的值．

Answer 1

分析：由T₃=C₉²（-2^x）²=36×2^2x=288可求x，然后利用等比数列的求和公式可求

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

，代入可求极限

解答：解：∵T₃=C₉²（-2^x）²=36×2^2x=288
∴2^2x=8  即x=

3

2

∴

lim

n→+∞

(

1

x

+

1

x2

+…

1

xn

)=

lim

n→+∞

[

2

3

+(

2

3

)2 +…+(

2

3

)n]=

2 3

1- 2 3

=2

点评：本题主要考查了二项展开式的通项得应用，还考查了等比数列的求和公式的应用及数列极限的求解．