Question

【题目】(1)讨论函数f(x)＝ex的单调性，并证明当x>0时，(x－2)ex＋x＋2>0．

(2)证明：当a∈[0,1) 时，函数g(x)＝ (x>0) 有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域.

Answer 1

【答案】（1）在和上都是递增，证明见解析；（2）证明见解析，.

【解析】试题分析：（1）求导后分析导数大于零（或小于零）的解，即可求出单调区间，利用极小值即可证明不等式成立；（2）利用二次求导求函数的单调性最值，从而求出h(a)的值域.

试题解析：

(1)f(x)＝ex，x∈(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．

f ′(x)＝ex＝，

因为当x∈(－∞，－2)∪(－2，＋∞)时，f ′(x)>0，

所以f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上单调递增，

所以x>0时， ex>f(0)＝－1，

所以(x－2)ex＋x＋2>0．

(2)g′(x)＝

＝

＝，a∈[0,1)．

由(1)知，当x>0时，f(x)＝·ex的值域为(－1，＋∞)，只有一解，使得·et＝－a，t∈(0,2]．

当x∈(0，t)时g′(x)<0，g(x)单调递减；

当x∈(t，＋∞)时g′(x)>0，g(x)单调递增．

h(a)＝＝＝，

记k(t)＝，在t∈(0,2]时，k′(t)＝>0，

所以k(t)单调递增，

所以h(a)＝k(t)∈．