Question

4．在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为DD₁和BB₁的中点．
（1）求证：AEC₁F是平行四边形；
（2）求AE和AF之间的夹角的余弦值；
（3）求四边形AEC₁F的面积．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{F{C}_{1}}$，由此能证明AEC₁F是平行四边形．
（2）求出$\overrightarrow{AE}$=（-a，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{AF}$=（0，a，$\frac{a}{2}$），由此利用向量法能求出AE和AF之间的夹角的余弦值．
（3）四边形AEC₁F的面积S=2S_△AEF=2×2×$|\overrightarrow{AE}|×|\overrightarrow{AF}|$×$sin＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}＞$，由此利用向量法能求出结果．

解答 （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（a，0，0），E（0，0，$\frac{a}{2}$），F（a，a，$\frac{a}{2}$），C₁（0，a，a），
$\overrightarrow{AE}$=（-a，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{F{C}_{1}}$=（-a，0，$\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{F{C}_{1}}$，∴AE$\underset{∥}{=}$FC₁，
∴AEC₁F是平行四边形．
（2）解：设AE和AF之间的夹角为θ，
∵$\overrightarrow{AE}$=（-a，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{AF}$=（0，a，$\frac{a}{2}$），
∴cosθ=|$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{AF}|}$|=|$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}}{\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}•\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}}}$|=$\frac{1}{5}$，
∴AE和AF之间的夹角的余弦值为$\frac{1}{5}$．
（3）sin＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$＞=sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴四边形AEC₁F的面积：
S=2S_△AEF=2×2×$|\overrightarrow{AE}|×|\overrightarrow{AF}|$×$sin＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}＞$
=4×$\frac{5}{4}{a}^{2}$×$\frac{2\sqrt{6}}{5}$
=2$\sqrt{6}{a}^{2}$．

点评 本题考查平行四边形的证明，考查两异面直线的夹角的余弦值的求法，考查平行四边形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．